14.2乘法公式14.2.1平方差公式人教版数学八年级上册\n某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.导入新知观察与思考\n1.掌握平方差公式的推导及应用.2.了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.素养目标\n多项式与多项式是如何相乘的？(x＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究新知知识点1平方差公式\n面积变了吗？a米5米5米a米(a–5)相等吗？探究新知\n①(x＋1)(x–1)；②(m＋2)(m–2)；③(2m＋1)(2m–1)；④(5y＋z)(5y–z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？做一做探究新知x2–12m2–22(2m)2–12(5y)2–z2这些计算结果有什么特点？想一想\n(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差.公式变形:1.(a–b)(a+b)=a2–b22.(b+a)(–b+a)=a2–b2探究新知平方差公式\n注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2相同为a相反为b，–b适当交换合理加括号探究新知平方差公式\n公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式；2.左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数；3.右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.(a+b)(a–b)=a2–b2.温馨提示探究新知\n(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–120.3x1(0.3x)2–12(a–b)(a+b)填一填探究新知\n口答下列各题：(1)(–a+b)(a+b)=_________.(2)(a–b)(b+a)=__________.(3)(–a–b)(–a+b)=________.(4)(a–b)(–a–b)=_________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2做一做探究新知\n例1计算：(1)(3x＋2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).(2)原式=(–x)2–(2y)2=x2–4y2.解：(1)原式=(3x)2–22=9x2–4；素养考点1利用平方差公式计算易错警示：当相同项带有“负号”时，必须用括号括起来.探究新知\n1.利用平方差公式计算：(1)(3x–5)(3x＋5)；(2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；巩固练习\n例2计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).=1002–22解:(1)102×98=10000–4=(100＋2)(100–2)=9996；=y2–4–y2–4y+5(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=y2–22–(y2+4y–5)=–4y+1.通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.素养考点2利用平方差公式简便运算探究新知\n(1)51×49;(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2).解:(1)原式=(50＋1)(50–1)=502–12=2500–1=2499；(2)原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10.巩固练习2.计算:\n例3先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.当x＝1，y＝2时，素养考点3利用平方差公式进行化简求值探究新知\n3.先化简,再求值:(3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.巩固练习解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)=9–x2+2(x2–1)=9–x2+2x2–2=7+x2当x=2时，原式=7+22=7+4=11\n例4对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．解：原式＝9n2–1–(9–n2)＝10n2–10.∵(10n2–10)÷10=n2–1.n为正整数，∴n2–1为整数素养考点4利用平方差公式进行证明探究新知\n对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．归纳总结探究新知\n巩固练习4.如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续整数的平方差是8的倍数.证明：(2n+1)2–(2n–1)2=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n×2=8n因为8n是8的倍数，所以结论成立.\n例5王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？∵a2＞a2–16，解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大妈吃亏了．素养考点5利用平方差公式解决实际问题探究新知\n解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．归纳总结探究新知\n5.如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图2).通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是()A.a2–b2=(a+b)(a–b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a–b)2=a2–2ab+b2D.(a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2ba图1ba图2巩固练习A\n1.化简(x–1)(x+1)的结果是．连接中考2.某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2)(第一步)=a2+2ab–a2–b2(第二步)=2ab–b2(第三步)(1)该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是；(2)写出此题正确的解答过程．原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．x2–1二去括号时没有变号巩固练习\n1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()A．(x＋y)(x＋y)B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x)D．(x＋y)(–x–y)C2.计算(2x+1)(2x–1)等于()A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10基础巩固题课堂检测\n(1)(a+3b)(a–3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32原式=(–2x2)2–y2原式=(a)2–(3b)2(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4.利用平方差公式计算：课堂检测基础巩固题解:解:解:\n5.计算：20152–2014×2016.解：20152–2014×2016=20152–(2015–1)(2015+1)=20152–(20152–12)=20152–20152+12=1课堂检测基础巩固题\n6.利用平方差公式计算:(1)(a–2)(a+2)(a2+4)解:原式=(a2–4)(a2+4)=a4–16.(2)(x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4–y4)(x4+y4)=x8–y8.课堂检测基础巩固题\n先化简，再求值：(x＋1)(x–1)＋x2(1–x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.将x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.能力提升题课堂检测\n已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝1–x4(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1–xn+1–632n＋1–2x100–1拓广探索题课堂检测\n平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.1.符号表示：(a+b)(a–b)=a2–b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.课堂小结
