12.2三角形全等的判定第一课时第二课时人教版数学八年级上册第三课时第四课时\n第一课时“边边边”定理\n为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？导入新知\n3.掌握用尺规作一个角等于已知角的作图法．1.探索三角形全等条件，明确探索方向和过程.2.掌握“边边边”判定方法和应用.素养目标\n1.什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.探究新知知识点1三角形全等的判定——“边边边”定理温故知新\nABCDEF3.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F探究新知温故知新即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．\n【思考】如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?探究新知只给一个条件①只给一条边时；②只给一个角时；3cm3cm45◦45◦结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.\n①两边；③两角.②一边一角；如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探究新知\n①如果三角形的两边分别为3cm，4cm时4cm4cm3cm3cm结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.探究新知\n②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:4cm4cm30◦30◦结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.探究新知\n45◦30◦45◦30◦③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.探究新知根据三角形的内角和为180°，则第三角一定确定，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等.\n两个条件①两角；②两边；③一边一角.结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.一个条件①一角；②一边；探究新知归纳总结\n①三角；②三边；③两边一角；④两角一边.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探究新知\n已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.①三个角探究新知\n已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm.它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm②三条边探究新知\n先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABCA′B′C′作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？作法：（1）画B′C′=BC；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B',A'C'.探究新知做一做想一想\n文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.AB=DE，BC=EF，CA=FD，几何语言：探究新知“边边边”判定方法\n例1如图，有一个三角形钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：（1）△ABD≌△ACD．CBDA解题思路：先找隐含条件公共边AD再找现有条件AB=AC最后找准备条件BD=CDD是BC的中点利用“边边边”定理判定三角形全等探究新知素养考点1\n证明：∵D是BC中点，∴BD=DC．在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）准备条件指明范围摆齐根据写出结论(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.（全等三角形对应角相等）探究新知\n①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.证明的书写步骤：探究新知归纳总结\n1.如图,C是BF的中点，AB=DC,AC=DF.求证:△ABC≌△DCF.在△ABC和△DCF中，AB=DC，∴△ABC≌△DCF(已知)(已证)AC=DF，BC=CF，证明：∵C是BF中点，∴BC=CF.(已知)(SSS).巩固练习\n例2已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠BAC＝∠DAE.利用三角形全等证明线段或角相等探究新知分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.素养考点2\n证明：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SSS)，∴∠BAD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.探究新知\n2.已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC，ABCDAC=AC(公共边)≌AB=AD()BC=DC()∴△ABC△ADC（SSS）证明：在△ABC和△ADC中已知已知∴∠BAC=∠DAC∴AC是∠BAD的角平分线.AC是∠BAD的角平分线巩固练习\n已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．例3用尺规作一个角等于已知角．ODBCAO′C′A′B′D′用尺规作一个角等于已知角知识点2探究新知\n作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺规作一个角等于已知角依据是什么？探究新知\n连接中考巩固练习1.如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证∠F=∠C．证明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，AC=DFBC=EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．AB=DE\n连接中考巩固练习2.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．证明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF.\n1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，还需要条件___(填一个条件即可）.BF=CDAEBDFC课堂检测基础巩固题\n2.如图，AB＝CD，AD＝BC,则下列结论：①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD≌△CDB；④BA∥DC.正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个OABCDC课堂检测基础巩固题\n1.已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌△AED.证明：∵BD=CE,∴BD－CD=CE－CD.∴BC=ED.××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已证），∴△ABC≌△AED（SSS）.能力提升题课堂检测\n2.已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．课堂检测图1图2能力提升题\n证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．课堂检测能力提升题\n3.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D.(提示:连结AB)证明：连结AB两点,∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C.课堂检测能力提升题\n如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，拓广探索题课堂检测\n边边边内容有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS”)应用思路分析书写步骤结合图形找隐含条件和现有条件，找准备条件注意四步骤1.说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.课堂小结\n第二课时“边角边”定理\n问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？AB导入新知\nABCED在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D使CD=CA连接BC并延长至E使CE=CB连结ED，那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？导入新知\n3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．1.探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS”.2.会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．素养目标\n1.回顾三角形全等的判定方法1三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符号语言表达：ABCDEF探究新知知识点1三角形全等的判定——“边角边”定理\n当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角？两角一边【思考】除了SSS外,还有其他情况吗？探究新知能判定全等吗？\n已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？探究新知\n尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABC两边及其夹角能否判定两个三角形全等?探究新知做一做\nABCA′DEB′C′作法：（1）画∠DA'E=∠A；（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；（3）连接B'C'.思考①△A′B′C′与△ABC全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？探究新知\n在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）．“边角边”判定方法几何语言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF，ABCDEF必须是两边“夹角”探究新知\n例1如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么△ABD和△CBD全等吗？分析:△ABD≌△CBD.边:角:边:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，ABCD(SAS)BD=BD(公共边)，证明：在△ABD和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共边)，利用“边角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点1\n1.已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.证明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性质)，即∠ABC＝∠DBE.在△ABC和△DBE中,AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已证)，CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE（SAS）.∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE巩固练习\n例2如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?AC·EDB证明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的对应边相等）.AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE（对顶角相等），CB=EC（已知），利用全等三角形测距离探究新知素养考点2\n2.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？提示：相等.根据边角边定理，△BAD≌△BAC，∴BD=BC.巩固练习\n如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？BACD△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.SSA能否判定两个三角形全等？探究新知想一想\n画△ABC和△ABD，使∠A=∠A=30°，AB=AB=5cm，BC=BD=3cm．观察所得的两个三角形是否全等？ABMCDABCABD有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论探究新知画一画\n例3下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.C易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．素养考点3三角形全等条件的识别探究新知\n3．如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有()A．1对B．2对C．3对D．4对CC巩固练习\n连接中考1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE–∠CAE=∠DAC–∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．巩固练习\n巩固练习连接中考2.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．\n1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30º8cm9cmⅥر30º8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30ºر8cm5cmⅤ30º8cmر5cmⅧ8cm5cmر30º8cm9cmⅦⅢر30º8cm8cmⅢ课堂检测基础巩固题\n2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是()A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBCD基础巩固题课堂检测\n证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS）．AD=AB∠BAC=∠DACAC=AC(已知），(公共边），(已证），3.如图，已知AC平分∠BAD,AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．课堂检测基础巩固题\n已知：如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点.求证：BE=CE.证明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD(已知），(公共边），(已知），∴BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE(已知），(公共边），(已证），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.课堂检测能力提升题ABCDE\n如图，已知CA=CB,AD=BD,M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.在△ABD与△CBD中证明:CA=CB(已知）AD=BD（已知）CD=CD（公共边）∴△ACD≌△BCD（SSS）连接CD，如图所示；∴∠A=∠B又∵M，N分别是CA，CB的中点，∴AM=BN拓广探索题课堂检测在△AMD与△BND中AM=BN(已证）∠A=∠B（已证）AD=BD（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.\n边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边课堂小结\n第三课时“角边角”“角角边”定理\n一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复三角形的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？导入新知\n1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．素养目标2.会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．\n三角形全等的判定（“角边角”定理）如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ABCABC图一图二“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？探究新知知识点1\n先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ACB探究新知\nACBA′B′C′ED作法：（1）画A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.从中你能发现什么规律？探究新知想一想\n“角边角”判定方法文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.几何语言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′探究新知\n例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．利用“角边角”定理证明三角形全等探究新知素养考点1\n1.如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF.∵∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）巩固练习\n例2如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求证：AD=AE.ABCDE分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.证明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B（已知），∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE.探究新知\n2.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？证明:在△ABE与△ACD中∠B=∠C（已知）∠A=∠A（公共角）AE=AD（已知）∴△ABE≌△ACD（AAS）∴BE=CD（全等三角形对应边相等）AEDCBBE=CD巩固练习\n若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?60°45°用“角角边”判定三角形全等知识点2探究新知\n60°45°思考：这里的条件与探究1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为探究1中的条件吗？75°探究新知\n∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′探究新知归纳总结两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.\n例3在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，利用“角角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点2\n例4如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD＝∠CAE,AB＝AC,∴△BDA≌△AEC(AAS).探究新知\n例4如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.证明：∵△BDA≌△AEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．探究新知\n3.如图，已知：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE＝CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED=∠CFD∠1=∠2BD=CD∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.巩固练习\n连接中考解析：∵AB=AC，∠A为公共角，如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，1.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CDD巩固练习\n巩固练习2.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD．连接中考\n1.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙B课堂检测基础巩固题\n2.在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不对B课堂检测基础巩固题\n3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.ABCD课堂检测基础巩固题\n4.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是___________AC=BC课堂检测基础巩固题\n1.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,求证：AB=AD.ACDB12证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已证），AC=AC（公共边），∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AB=AD.能力提升题课堂检测\n2.如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?321答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.课堂检测能力提升题\n已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′，并用一句话说出你的发现.ABCDA′B′C′D′拓广探索题课堂检测\n解：因为△ABC≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′全等三角形对应边上的高也相等.课堂检测拓广探索题\n角边角角角边内容有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别课堂小结\n第四课时“斜边、直角边”定理\n舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.(1)你能帮他想个办法吗？根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角.导入新知\n工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信这个结论吗？（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?让我们来探究一下吧！斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等.导入新知\n2.能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.1.探究直角三角形全等的判定方法.素养目标\nSSSSASASAAAS旧知回顾我们学过的判定三角形全等的方法.探究新知知识点1三角形全等的判定——“HL”定理\n如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？探究新知想一想\nABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？探究新知问题A′\n如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF探究新知想一想\n如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF探究新知想一想\n任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC探究新知\n画图思路（1）先画∠MC′N=90°.ABCMC′N探究新知\n（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′探究新知画图思路\n（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.MC′ABCNB′A′探究新知画图思路\n（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？探究新知画图思路\n“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,探究新知\n判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）（3）一个锐角和斜边对应相等；（）（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等（）HLAAS或ASASASAASAAS判一判探究新知\n例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD.求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.AB=BA,AC=BD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.利用“HL”定理判定直角三角形全等探究新知素养考点1\n如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS探究新知变式题1\n如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC.求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC探究新知变式题2\n如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC探究新知变式题3\n1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，∵AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．巩固练习\n例2如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.探究新知\n探究新知方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．\n2.如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.证明：AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴∠ABC＝∠DCB.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝DB巩固练习\n例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.利用直角三角形全等解决实际问题探究新知素养考点2\n3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)所以BD=CD解：BD=CD因为∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中,AB=ACAD=AD巩固练习\n连接中考1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．巩固练习\n巩固练习证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．2.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．连接中考\nD1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等课堂检测基础巩固题\n3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”），根据（用简写法）.全等HL课堂检测A2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1B．2C．3D．4基础巩固题\n4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，CE=BD,BC=CB.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).课堂检测基础巩固题\n如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).AFCEDB∴BF=DE.能力提升题课堂检测\n如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？拓广探索题课堂检测\n(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．课堂检测解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；拓广探索题\n“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）课堂小结
