第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高\n1.通过测量旗杆的高度，复习巩固相似三角形有关知识.（重点）2.综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决实际问题.（难点）学习目标\n世界上最高的树——红杉新课导入\n乐山大佛\n台北101大楼\n怎样测量这些非常高大物体的高度？\n据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,测出了金字塔的高度.那么现在我们也学习了相似三角形的知识,我们可不可以运用相似三角形的知识去测量建筑物的高度呢?\n学校广场上的五星红旗高高飘扬,每周一的早上,全校师生都要在那里举行庄严的升国旗仪式.那么你知道旗杆的高度吗?你能测量出旗杆的高度吗?\n利用相似三角形测量高度知识点讲授新课1.利用阳光下的影子测量旗杆的高度【操作方法1】一名学生在直立于旗杆影子的顶端处，测出该同学的影长和此时旗杆的影长.AECBD\n∴△ABE∽△CDB.测量原理∵太阳的光线是平行的,∴AE∥CB,∴∠AEB=∠CBD,∵人与旗杆是垂直于地面的,∴∠ABE=∠CDB=90°,因此,只要测量出人的影长BE,旗杆的影长DB,再知道人的身高AB,就可以求出旗杆CD的高度了.\n【操作方法2】如图所示,由于光线AC,A'C'平行,所以∠C=∠C'.由于站立的人和被测物体都垂直于地面,所以∠B=∠B'=90°,这样△ABC∽△A'B'C',从而有AB∶A'B'=BC∶B'C',其中AB,BC,B'C'可测,故A'B'通过计算可求.\n缺点:受太阳光的限制,只能在有太阳光时进行操作.知识拓展利用身高和影长测高活动工具:皮尺.测量方法:量出观测者身高以及同一时刻观测者和被测物体的影子的长度.测量数据:观测者身高和同一时刻观测者和被测物体的影子的长度.测量原理:由太阳光线是平行线得出两直角三角形相似.优点:除皮尺外不需要其他工具,简单易行,好操作.\n例1如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.怎样测出OA的长？解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴=134(m).因此金字塔的高度为134m.\n表达式：物1高：物2高=影1长：影2长利用阳光下的影子测高：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.归纳：\n1.如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是()A．B．C．D．C练一练\n2.如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是______米．8\n2.利用标杆测量旗杆的高度【操作方法】选一名学生为观测者,在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆,观测者前后调整自己的位置,使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上,分别测出他的脚与旗杆底部以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度.\n又∵∠3=∠3,△AME∽△ANC,如图所示,过点A作AN⊥DC于N,交EF于M.测量原理∵EF⊥BD,CD⊥BD,∴∠EFD=∠CDH=90°,∴EF∥CN,∴∠1=∠2.\n因此,只要测量出观测者的眼睛与地面的距离AB,人到旗杆的距离BD,人到标杆的距离BF,标杆高度EF,就可以求出旗杆CD的高度.又∵AB⊥BD,∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°,∴四边形ABDN为矩形,∴DN=AB,AN=BD,∴CD=CN+ND=CN+AB.\n优点:只需要标杆即可,不受太阳光的限制.[知识拓展]标杆测高活动工具:标杆(高度要高于观测者的身高),皮尺.测量方法:观测者的眼睛必须与标杆的顶端和被测物体的顶端在一条直线上.测量数据:观测者的眼睛与地面的距离,标杆高度以及观测者与标杆、被测物体之间的距离.测量原理:由标杆和被测物体平行得出两直角三角形相似.缺点:计算量大.\n例2如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?\n分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.\n由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴，即解得EH=8.\n练一练：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.分析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，可得△AEM∽△ACN.AECDFBN\nAECDFBN解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴.∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m,∴,∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.故树的高度为5.2m.\n【操作方法】选一名学生作为观测者.在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子,固定镜子的位置,观测者看着镜子来回调整自己的位置,使自己能够通过镜子看到旗杆顶端.测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度.3.利用镜子的反射测旗杆的高度\n∴∠B=∠D=90°,∴△ABE∽△CDE.点拨:反射角=入射角.∵反射角=入射角,∴∠AEB=∠CED.∵AB⊥BD,CD⊥BD,因此,测量出人与镜子的距离BE,旗杆与镜子的距离DE,再知道观测者的眼睛与地面的距离AB,就可以求出旗杆CD的高度.\n例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.∴,解得BA=18.75（m）.因此，树高约为18.75m.DBACE21\n如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是()A.6米B.8米C.18米D.24米B试一试：\n1.小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为()A.45米B.40米C.90米D.80米2.小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶()A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2mAA随堂练习\n3.如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离SA的长度为.12cm\n4.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？\n解：∴EB∥CD∴△ABE∽△ACDCD=10.5m.∵EB⊥AC,CD⊥AC1.2m12.4m1.6m\n5.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.ABCDGEF\nABCDGEF解：由题意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m).答：旗杆的高度为11.5m.∴\n6.如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．ABCD\nE解：如图：过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，∴学校旗杆的高度为10m.ABCD\n利用相似三角形测高利用阳光下的影子利用标杆利用镜子的反射课堂小结
