第4章锐角三角函数4.2正切\n1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)学习目标\n智者乐水，仁者乐山图片欣赏导入新课\n思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？陡陡意味着倾斜程度大！\n想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？\n铅直高度水平宽度梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度ACB讲授新课相关概念正切的定义\n问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大——梯子越陡\n问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲乙\n问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA\n问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.\n若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？AC1C2B2B1合作探究2\n两个直角三角形相似(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2C3B3想一想相等相似三角形的对应边相等\n在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即ABC∠A的对边∠A的邻边┌tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，梯子越陡.\n定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.3.tanA﹥0且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.\nABC┌锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议\n例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,β6m┐乙8mα5m┌甲13m乙梯中,∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析\n1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则tanA=______，tanB=______．练一练互余两锐角的正切值互为倒数.2.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.ABCD(1)tanA==AC()CD()(2)tanB==BC()CD()BCADBDAC\n4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定ABC┌C3.已知∠A,∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tanAtanB;(2)若tanA=tanB,则∠A∠B.==\n求tan30°，tan60°的值.从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解：如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，于是BC=AB，∠B=60°.由此得出AC=BC.因此因此合作探究\n说一说tan45°的值tan45°=1\n30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana归纳：1\n对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求.例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.4663…用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角\n如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知tanα=0.8391，依次按键，显示结果为40.000…，表示角α约等于40°.\n总结归纳从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα(或cosα，tanα)与它对应，并且我们还知道，当锐角α变化时，它的比值sinα(或cosα，tanα)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数.\n定义中应该注意的几个问题:1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切(习惯省去“∠”号).3.sinA,cosA,tanA是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.\n例2求下列各式的值：提示：cos260°表示(cos60°)2，即(cos60°)×(cos60°).解：cos260°+sin260°典例精析(1)cos260°+sin260°；\n(2)解：\n练一练计算：(1)sin30°+cos45°；解：原式=(2)sin230°+cos230°－tan45°.解：原式=\n例3已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．\n练一练解：∵|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，∴tanB＝，sinA＝∴∠B＝60°，∠A＝60°.1.已知：|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，求∠A，∠B的度数.\n2.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x－3=0的一个根，求2sin2α+cos2α－tan(α+15°)的值．解：解方程x2+2x－3=0，得x1=1，x2=－3.∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.∴2sin2α+cos2α－tan(α+15°)=2sin245°+cos245°－tan60°\nBCA(1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,AC=12,tanA=().(2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=().(3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA=,AC=().1.完成下列填空：当堂练习\n2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.B.C.D.D这个图呢？CABCAB\n3.如图,P是的边OA上一点，点P的坐标为，则=__________.M记得构造直角三角形哦！OP(12,5)Axy\n5.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB┌D解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∴在Rt△ABD中，易知BD=5，AD=12.\n6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA=,求AC和BC.4k┌ACB153k\n7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．解：∵又∵ABC610\n变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，求sinA、tanA的值．解：∵ABC设AC=15k，则AB=17k所以∴\n变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求sinA、cosB的值．ABC8解：∵\n如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，△PAO的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tan∠PAO的值.M能力提升解：(1)过点P作PM⊥OA于点M，\n（2）当S=10时,求tan∠PAO的值.M解：又∵点P在直线y=-x+6上，∴x=2.∴AM=OA-OM=5-2=3.\n正切正切的概念：在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切课堂小结正弦的性质：α确定的情况下，tanα为定值，与三角形的大小无关用计算器解决正切问题\n课堂小结正切定义∠A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系
