第22章二次函数测试卷（2）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）A．m，n，p均不为0B．m≠0，且n≠0C．m≠0D．m≠0，或p≠02．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（ ）A．y=x2+1B．y=x2﹣1C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）24．（3分）二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（ ）A．B．C．D．5．（3分）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）A．y=2x2+x+2B．y=x2+3x+2C．y=x2﹣2x+3D．y=x2﹣3x+26．（3分）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1B．y=﹣（x﹣2）2﹣117\nC．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x﹣2）2﹣17．（3分）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.208．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是（ ）A．和3B．和﹣3C．﹣和2D．﹣和﹣29．（3分）在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）A．y=πx2﹣4B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．（3分）已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）A．3sB．4sC．5sD．6s二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）若y=xm﹣1+2x是二次函数，则m= ．12．（3分）二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 ．13．（3分）抛物线y=x2+的开口向 ，对称轴是 ．14．（3分）将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a（x﹣h）2+k的形式是 ．15．（3分）如图，函数y=﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为 ．17\n16．（3分）已知抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣的顶点的横坐标是2，则m的值是 ．17．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2011的值是 ．18．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．19．（3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x= 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．20．（3分）如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为 m（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）．三、解答题（共40分）21．（8分）已知当x=1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求此函数关系式．17\n22．（10分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）23．（10分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？24．（12分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．17\n答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）A．m，n，p均不为0B．m≠0，且n≠0C．m≠0D．m≠0，或p≠0【考点】H1：二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义求解．【解答】解：根据题意得当m≠0时，y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．2．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）A．B．C．D．【考点】F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．17\n【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．3．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（ ）A．y=x2+1B．y=x2﹣1C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2【考点】H3：二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1）；抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）；抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0）；抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值4ac﹣b24a，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值4ac﹣b24a，即顶点是抛物线的最高点．4．（3分）二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】H2：二次函数的图象．【分析】利用排除法解决：首先由a=﹣1＜0，可以判定抛物线开口向下，去掉A、C；再进一步由对称轴x=﹣=1，可知B正确，D错误；由此解决问题．17\n【解答】解：∵y=﹣x2+2x，a＜0，∴抛物线开口向下，A、C不正确，又∵对称轴x=﹣=1，而D的对称轴是x=0，∴只有B符合要求．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与性质，观察图象得到二次函数经过的点的坐标是解题的关键．5．（3分）已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（ ）A．y=2x2+x+2B．y=x2+3x+2C．y=x2﹣2x+3D．y=x2﹣3x+2【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：，解之得；所以该函数的解析式是y=x2﹣3x+2．故选：D．【点评】主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设y=ax2+bx+c，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式．6．（3分）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）A．y=﹣（x﹣2）2﹣1B．y=﹣（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2﹣1D．y=（x﹣2）2﹣1【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据二次函数的顶点式求解析式．【解答】解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入得a=1，17\n所以y=（x﹣2）2﹣1．故选：C．【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y=a（x﹣h）2+k．7．（3分）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【专题】16：压轴题．【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．【点评】该题考查了用表格的方式求函数的值的范围．8．（3分）二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是（ ）A．和3B．和﹣3C．﹣和2D．﹣和﹣2【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】利用二次函数图象与x轴交点的横坐标即为y=0时，求出x的值，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：y=0时，0=2x2+3x﹣9，则（2x﹣3）（x+3）=0，解得：x1=，x2=﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点求法，正确解一元二次方程是解题关键．9．（3分）在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（ ）A．y=πx2﹣4B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π17\n【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积﹣半径为x的圆的面积=16π﹣πx2=﹣πx2+16π【解答】解：半径为4的圆的面积16π，半径为x的圆的面积πx2．因而函数解析式是：y=﹣πx2+16π．故选：D．【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．10．（3分）已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）A．3sB．4sC．5sD．6s【考点】HE：二次函数的应用．【分析】将关系式是h=﹣t2+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论．【解答】解：∵h=﹣t2+20t+1，∴h=﹣（t﹣4）2+41，∴顶点坐标为（4，41），∴到达最高处的时间为4s．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）若y=xm﹣1+2x是二次函数，则m= 3 ．【考点】H1：二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义得到m﹣1=2，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得m﹣1=2，解得m=3．故答案为3．【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠17\n0）也叫做二次函数的一般形式．12．（3分）二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 k＞﹣1 ．【考点】H2：二次函数的图象．【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+1＞0，据此易求k的取值范围．【解答】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+1＞0，解得k＞﹣1．故答案是：k＞﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．13．（3分）抛物线y=x2+的开口向 上 ，对称轴是 y轴 ．【考点】H3：二次函数的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：抛物线y=x2+的开口向上，对称轴为y轴．故答案为上，y轴．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值4ac﹣b24a，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值4ac﹣b24a，即顶点是抛物线的最高点．14．（3分）将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a（x﹣h）2+k的形式是 y=2（x+）17\n2﹣ ．【考点】H9：二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=2x2+6x+3=2（x2+3x+）﹣+3=y=2（x+）2﹣，即y=2（x+）2﹣．故答案为y=2（x+）2﹣．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．15．（3分）如图，函数y=﹣（x﹣h）2+k的图象，则其解析式为 y=﹣（x+1）2+5 ．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．【解答】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，5）所以函数的解析式为y=﹣（x+1）2+5．故答案为y=﹣（x+1）2+5．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，根据图象得出顶点是本题的关键．16．（3分）已知抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣的顶点的横坐标是2，则m的值是 ﹣3 ．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣=2，可据此求出m的值．17\n【解答】解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣的顶点的横坐标是2，∴=2；解得m=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，以及抛物线对称轴的求解公式，难度不大．17．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2011的值是 2012 ．【考点】33：代数式求值；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【专题】11：计算题．【分析】将（m，0）代入y=x2﹣x﹣1，即可直接求得m2﹣m的值，从而求出m2﹣m+2011的值．【解答】解：将（m，0）代入y=x2﹣x﹣1得，m2﹣m﹣1=0，整理得，m2﹣m=1，∴m2﹣m=1+2011=2012．故答案为：2012．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和代数式求值，利用整体思想直接求出m2﹣m=1是解题的关键．18．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ﹣2＜x＜3 ．【考点】HC：二次函数与不等式（组）．【分析】根据函数图象，写出x轴下方部分的函数图象x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3．故答案为：﹣2＜x＜3．17\n【点评】本题考查了二次函数与不等式组，利用数形结合的思想是解题的关键．19．（3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，则当x= 4 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．【考点】H7：二次函数的最值．【专题】16：压轴题；2B：探究型．【分析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．【解答】解：∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8﹣x）个，∴y=（8﹣x）x，即y=﹣x2+8x，∴当x=﹣=﹣=4时，y取得最大值．故答案为：4．【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．20．（3分）如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为 9.1 m（精确到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不计）．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】由题意可知，以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过（0，0）、（8，0）、（1、4）、（7、4），运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可．【解答】解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，则抛物线过（0，0）、（8，0）、（1、4）、（7、4）四点，设该抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，17\n∴由题意得到方程组：，解方程组得：，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x，顶点坐标为（4，），则校门的高为m≈9.1m．【点评】本题涉及二次函数的实际问题，转化为代数方程求解，难度中上．三、解答题（共40分）21．（8分）已知当x=1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求此函数关系式．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【专题】11：计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2+5，然后把（0，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：根据题意，设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+5，把（0，﹣3）代入得a（0﹣1）2+5=﹣3，解得a=﹣8，所以二次函数的解析式为y=﹣8（x﹣1）2+5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．17\n22．（10分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HC：二次函数与不等式（组）．【分析】（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3．【解答】解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．23．（10分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【专题】12：应用题．【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20﹣2x）．根据面积公式即可解答．（2）把函数解析式用配方法化简，得出y的最大值．17\n【解答】解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10﹣x）．则y=x（10﹣x）化简可得y=﹣x2+10x（2）y=10x﹣x2=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+25，所以当x=5时，矩形的面积最大，最大为25cm2．【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．24．（12分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．【考点】HE：二次函数的应用．【专题】16：压轴题．【分析】（1）将二次函数化简为y=﹣（x﹣）2+，即可解出y最大的值．（2）当x=4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．【解答】解：（1）将二次函数y=x2+3x+1化成y=（x）2，（3分），当x=时，y有最大值，y最大值=，（5分）因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．（6分）（2）能成功表演．理由是：当x=4时，y=×42+3×4+1=3.4．即点B（4，3.4）在抛物线y=x2+3x+1上，因此，能表演成功．（12分）．17\n【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．17
