28.2解直角三角形及其应用人教版数学九年级下册28.2.2应用举例(第3课时)
宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一(如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).导入新知图②图①
1.正确理解方向角、坡度的概念.2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.素养目标3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.
方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.北偏东30°南偏西45°30°45°BOA东西北南探究新知知识点1方向角的有关问题也叫西南方向
探究新知注意（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式.（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换.
例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？65°34°PBCA探究新知有关方向角的实际问题——距离素养考点1
解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile．65°34°PBCA探究新知
探究新知归纳总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
巩固练习美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向.一游客自景点A驾船以每分钟20m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?解:根据题意,得AC=20×10=200(m).如图所示,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ADC中,,DC=AC·sin∠CAD=200·sin30°=100.在Rt△ADB中,.∴.∴(分).
例2海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAC60°素养考点2探究新知有关方向角的实际问题——预测路线30°
解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.北东ACB60°30°DEF探究新知
又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里，，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．北东ACB60°30°DEF探究新知∴(海里)，
如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)?巩固练习北东
解：过点P作PC⊥AB于点C．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．C巩固练习
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？hhααll知识点2坡度、坡角有关的问题探究新知
【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC探究新知
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，如图，坡度通常写成的形式.hl坡度越大坡角越大坡面越陡探究新知α水平面坡面
（1）斜坡的坡度是，则坡角α=____度.（2）斜坡的坡角是45°，则坡比是_____.（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1巩固练习完成下列各题:
例1如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)探究新知利用坡度、坡角解答大坝问题素养考点1
解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=AB·sin60°=(m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则(m).故改造后的坡长AE为m.F探究新知
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF的坡比．求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)ABCDEF45°巩固练习
∴(米).ABCDEF45°GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.(米)，(米).又∵AG=DG=10米，故加固后坝底增加的宽度AF为米.巩固练习
例2如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2探究新知素养考点2利用坡度、坡角解答山坡问题
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．因此探究新知BACi=1:2
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1:2，走米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．ACBD30°答案：点B和点C的水平距离为米.巩固练习E
1.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：，连接中考
连接中考解：在Rt△CDE中，∵，∴，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m.∵四边形AFED是矩形，答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．在Rt△ABF中，∵∠B=45°，∴BF=AF=7m.∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）.
2.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米A连接中考
1.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于．90°基础巩固题课堂检测
2.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（）A.10分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟B课堂检测
3.如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93)33.5海里课堂检测
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.课堂检测能力提升题
解：分别过点B,C作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3课堂检测
在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)，课堂检测ADBCi=1:2.5236αi=1:3EF
解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，由题意可知，DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.1米，，).45°30°4米12米ABCD在Rt△ADE中，EF课堂检测拓广探索题
在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9(米)．答：路基下底的宽约为22.9米．(米).(米).45°30°4米12米ABCDEF课堂检测
利用方向角、坡度解直角三角形坡度问题方向角问题坡角坡度(或坡比)课堂小结
课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
